第三章 努力学习也考不了高分（1 / 2）
第二天我把想要好好学习的想法告诉了学霸，他很高兴，很欢迎我的加入。
只是阿肥有些失落，因为这意味着从此以后他少了一个一起睡懒觉，打游戏，吹牛的伙伴。
我也和学霸一样开始泡在图书馆里，然而令我惊讶的是发现了不少熟面孔，都是我们系的，好多个我还知道名字。
这么多人都在努力学习，那我也不能落后。
我翻开《高等数学》，打开第三章——微分中值定理与导数的应用，开始复习刚刚学过的泰勒公式：
泰勒公式，也称泰勒展开式。是用一个函数在某点的信息，描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以利用这些导数值来做系数，构建一个多项式近似函数，求得在这一点的邻域中的值
这些我还能看懂。
然而这些
xo由导数的定义可知，当函数f(x)在点xo处可导时，在点xo的邻域u(xo)内恒有
f(x)=f(xo)+f(xo)(x-x)+o(x-xo)
因为o(x一xo)是一个无穷小量，故有f(x)≈f(xo)+f(xo)(x-xo)。这是在对函数
进行局部线性化处理时常用的公式之一。从几何上看，它是用切线近似代替曲线。然而，这样的近
似是比较粗糙的，而且只在点的附近才有近似意义。为了改善上述不足，使得近似替代更加精密，
数学家们在柯西中值定理的基础上，推导出了泰勒中值定理(泰勒公式)
若函数f(x)在包含xo的某个开区间(a，b)上具有(n+1)阶的导数，那么对于任一
∞∈(a，b)，有
f(xo)。f'(xo)_
f“(xo)/
(x-xo)2++
f(o)(xo)。
(x-xo)n-
f(x)=一
+-
(∞一xo)+
2!
n!
o!
1!
我就看不太懂了。
还有这些
中，rn(x)=
(e(x-x)+1，此处的e为工与x之间的某个值。f(x)称为
(n+1)!
n阶泰勒公式，中，p(x)=f(x)+f(xo)(x-x)++
f(m)(x)
(x-xo)”称
n!
为n次泰勒多项式，它与f(x)的误差rn(x)=
f+1)(e)，
(x-xo)
)n+1称为n阶泰勒余
(n+1)!
项
如果函数f(x)的n+1阶导数在n(xo)上有界m，从而有
rn(x)
≤lim
lim
(x-xo)”|=→2(n+1)!
|x-xo|=
表明rn(x)=o((x-xo)“)，另外也可证明对固定的x，当n→∞时，rn(x)→，
即，要想使f(x)与pn(x)误差减小，则可将|x-ro|取小，也可将n取大。在n阶泰勒公式
中，xo=，从而可得
f(x)=f()+f()(x)+
f()
(2)2++
fm)，()
(x)“+rn(x)
2!
此时rn(x)为r，(x)=
f(n+1)(e)，
(x)“+1，其中e为xo与x之间的某个值，该式称为函
(n+1)!
数f(x)在x=处的n阶泰勒公式，也称作f(x)的n阶麦克劳林(maclaurin)公式，其余项
常写为o(x“)或者
f(n+1)(x)
-xm+1(<<1)两种形式，用n+1阶导数表示的余项叫拉格
(n+1)!
朗日余项，用o(x“)或者o((x-xo)”)表示的余项叫作皮亚诺(peano)项
我就更看不懂了。
找学霸给我讲了两遍，不太懂，我也不太好意思再麻烦他了。
于是去找了陈家康，一个上高数课总能正确回答老师问题的人。
他又给我讲了一遍，还是不太懂。
一上午的时间连个泰勒公式的中值定理都没搞明白，不免有些灰心，但万事开头难，不能因为一点挫折就放弃。所以我决定下午继续攻坚克难。
下午的图书馆仍旧坐满了人，我还在为这该死的公式费脑筋。
看到了我的停滞不前，陈家康建议我说：
“张伟，你要是暂时不懂泰勒公式的中值定理，也可以先复习一下罗尔定理。”
“但是——”他接着道：
“你要先明白它的证明过程——。”
证明:因为函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，所以存在最大值与最小值，分别用m和m表示，分
两种情况讨论:
1若m=m，则函数f(x)在闭区间[a，b]上必为常函数，结论显然成立。
2若m>m，则因为f(a)=(b)使得最大值m与最小值m至少有-个在(a，b)内某点ξ处取得，从
而是f(x)的极值点，又条件f(x)在开区间(a，b)内可导得，f(x)在ξ处取得极值，由费马引理，可导
的极值点一定是驻点，推知:f=。
另证:若m>m，不妨设=m，ξ∈(a，b)，由可导条件知，f(ξ+)<=，f(-)>=，又由极限存在
定理知左右极限均为，得证。
我还在思考这个过程是怎么论证的，他又说话了：
“但是这个定理也有几种特殊情况——”
(1)有界开区间上的有界函数
若函数f(x)在区间(a，b)上连续目可导，并有lian。f(x)=。li。f(x)=+∞(或