( ?ω ?)/（1 / 2）
高中数学66个秒杀技巧模型
第一个部分是数统逻辑，这部分有11个秒杀模型，分别是纯虚实法、交点代入法、取最值法、双绝对值等比求和、特殊值法、特征根法、等差类通项；
第三个部分是导数，这部分有1个秒杀技巧：必备不等式、三次函数因次分解、三次函数极值点、三次函数切线问题、必备复合函数、变号零点相同模型
第1页
高中数学难怎么办高考数学14分的秘密大揭密
高中数学难怎么办高中数学常用“1种经典解题法“，春波简化数学，带你掌握数学简化方法技术，建立模型思维，没有难解的数学题
\ufffc\ufffc\ufffc
点击立即咨询，了解更多详情
咨询
青岛丽加唐教育咨询广告
、零点比大小模型、端点效应、导向法、幸运数字法；
第四部分知识是三角与向量，这部分有15个秒杀技巧：1的妙用、勾股定理、周期口诀、最值问题、射影定理、角平分定理、面积公式、特殊三角形、伪降幂公式、中点转化式、特殊值求向量、画图法、几何求模长、等和线、奔驰定理。
第五部分知识是解析几何，有11个秒杀技巧：切线模板、内外分弦、焦端点三角形、离心率模型、中点弦模型、焦点弦径模型、焦点相关面积模型、交点相关面积模型、仿射变换、平移齐次法、点线对称；
第2页
第六部分是立体几何知识，这部分有6个秒杀技巧，分别是：还原三视图、方体模型、内切球模型、外接球模型、空间余弦定理、射影面积求二面角；第七部分就是基本初等函数了，这个部分有8个秒杀技巧，分别是1/比较法。
参数问题、知式求图、抽象具体化、对称最值、中值模型、周期对称、双括号不等式。
近些年有人统计，选择题中用到秒杀技巧的题目占选择题总数的一半以上，一共16题有1题左右能用到秒杀技巧，一共14题有8题左右会用到秒杀技巧名义工15题或者17题都是超过半数题目能用到。
第3页
所以灵活掌握各类题型的秒杀技巧，在数学考试中可以大大节约选择题做题时间，将更多时间用在后面的大题上。
第4页
百度文库
搜索
\ufffc
在一个均匀排列的数列上，均匀的去掉一些元素，剩余部分是否是均匀的呢？
如果剩余部分仍是均匀的，则孪生素数就是无限的。
比如有一排均匀种植的树木，每一米种植一棵，当然这排树数量很多。若我们每1米砍掉一棵树后，剩余的树木排列还是均匀的吗？
可能有人认为不是均匀的了，因为每1米就少了一棵树。也就是说用米尺去量时，它们的确不再均匀了。但是若统计每1米内的树木数量，都是9棵，是否也可以认为此时树木仍是均匀的呢？其实在开始时的每一米种植一棵数大家都认为是均匀的，但以一尺为单位统计时，显然，有时在一尺范围内是有一颗树的，有时一尺范围内是没有树的。这是否也可以认为树木是不均匀的呢？
这与孪生素数有关吗？
有关。
1、2、3、4、5、6、7、8、9、1n，这是自然数序列，也可以认为是一排树，一排均匀种植的树。我们按照一定条件在这个自然数序列上均匀的去掉一些元素。而若剩余的恰好是孪生素数。这时我们是否可以认为孪生素数也是均匀排列的呢？
比一个素数大2的数字如果仍然是素数，则称这两个数字是孪生素数。若用这种方法判断两个数字是否为孪生素数是非常繁琐的，而且不利于证明。
是否有新的方法呢？
1、2、3、4、5、6、7、8、9、1n，这是自然数序列，我们可以将这些数字按照一定规则分成2类。比如将1、4、7、1等划分为a集合，而将2、3、5、6、8、9划分为b集合。两者的区别是a集合中的元素在其后面分别添加1、3后形成的两个数字全部是孪生素数。而b集合中的数字在其后面分别添加1、3后形成的两个数字全部不是孪生素数。当然a集合中的元素目前尚无公式可以求出。但b集合中的元素是可以用公式求出的。公式计算的结果可以形成很多个等差数列，这些等差数列中的元素均匀的去掉自然数集合中的一些元素后，剩余的数字就是a集合中的元素。那a集合中的元素是均匀分布的吗？
本文所述仅研究个位为1、3的这一部分孪生素数。而不考虑个位为7、9以及个位为9、1的两类孪生素数。
当统计很小的范围时，就是我们所熟悉的素数越来越稀疏，孪生素数越来越稀疏，四胞胎素数越来越稀疏。但当我们统计范围扩大时，就会看到素数、孪生素数、四胞胎素数实际上近似均匀的分布在自然数中的。也就说自然数统计范围扩大到原来的2倍时，则其范围内所含的素数、孪生素数、四胞胎素数的数量也会趋近扩大到原来的2倍。
当统计范围达到28万亿时，素数增长比例为196，孪生素数增长比例为192，四胞胎素数增长比例为184。也就是说自然数范围由14万亿扩大到28万亿时，统计范围是原来的2倍，而素数数量是原来的196倍，孪生素数数量是原来的192倍，四胞胎素数数量是原来的184倍。
根据素数定理可以计算出当统计范围增加到2e+37时，素数数量增长的这一比例是1998。同样根据素数定理可以计算当统计范围趋向无穷时，素数数量增长的这一比例就是2。
而孪生素数、四胞胎素数是没有这样的定理可使用的，但现有统计结果也是逐渐趋向2这一数字的。这种均匀性表明孪生素数，甚至四胞胎素数都是无限的。
看看下面这张统计表可以清楚的展现这一变化规律（此图较长，中间省略了一部分。
图中最左侧自然数栏中的数字去掉个位9后，下面一行的数字都是上面一行数字的2倍。
如何通过计算得到b集合中的元素呢？b集合中的元素如实如何分布的呢？
有5组公式可以计算出b集合中的所有元素，每组又由很多个公式组成，具体如下：
个位为1：(1i+1)k+i、(1i+3)k+7i+2、(1i+9)k+9i+8
个位为3：(1i+3)k+i、(1i+7)k+9i+6
每个公式的计算结果可以构成一列等差数列，实际上b集合中的全部元素就是这些等差数列中不同元素构成的。而不在b集合中元素就是a集合中的元素。b集合中的元素后面分别添加1、3后形成两个数字一定不是孪生素数，a集合中的元素后面分别添加1、3后形成两个数字一定是孪生素数。
比如公式(1i+3)k+i
当i=时，其结果是：3、6、9、12、15、18、21、24、27、3
当i=1时，其结果是：14、27、4、53、66、79、92、15、118、121
可以看到其结果就是若干个等差数列。而这些数字在其后添加1、3后形成的2个数字一定不是孪生素数，如3、6、9、12、15添加1、3后变成了31-33、61-63、91-93、121-123、151-153等，而14、27、4、53添加1、3后变成了141-143、271-273、41-43、531-533也一定不是孪生素数。
在自然数集合1、2、3、4、5、6、7、8、9、1n中逐渐去掉等差数列3、6、9、12、15以及等差数列14、27、4、53等等这样的等差数列后，剩余部分还是均匀的吗？
总之统计结果在较大范围内是均匀的。
(1i+3)k+i与(1i+7)k+9i+6这两组公式计算结果是所有个位为3的合数，凡是这两组公式计算出的结果再添加个位3后一定是合数，而不在计算结果中的数字添加个位3后一点是素数。5组公式合用，自然就会去掉所有个位为1和个位为3的合数。实际上这就是个位为1的素数筛法，个位为3的素数筛法。合用就是个位为1、3的孪生素数筛法。因为合用可以去掉所有个位为1、3的合数部分，剩余部分的自然数，在其后面添加1是素数、添加3也是素数，如数字“4“是剩余数字，再该数字的后面添加1后41是一个个位为1的素数，同时该数字的后面添加3后是、43是一个个位为3的素数。显然41-43是一对孪生素数。
显然这些公式不但去掉了21、33这样合数，也去掉了23、31这样的素数。剩余的就是形如1、4、7、1这样的数字。这些数字就是前文所述的a集合中的数字。在其后面分别添加1、3数字后就会变成一对孪生素数。1、4、7、1添加1、3后形成了孪生素数11-13、41-43、71-73、11-13。
回到本文开头所述，在自然数集合1、2、3、4、5、6、7、8、9、1n中逐渐去掉个位为1、3的5组公式的解形成的等差数列后，剩余部分也就是a集合中可以形成孪生素数的那些元素，大家说说此时剩余的这些数字，也就是说可以形成孪生素数的数字是均匀的吗？如果是，孪生素数则无限。如果不是，唉！如果一个均匀的数列被另一个均匀的等差数列去掉了相同的元素，而剩余的不是均匀的，会是什么情况呢？间隔1米的一排树，每1米砍掉一棵树，结果是前1米剩了9棵树，后1米剩了5棵树，是什么情况？怎么砍能均匀的砍成不均匀的呢?
实际上这种方法不能直接的证明孪生素数猜想，因为很有可能剩余数是。这时前后仍是均匀的。每个区间都是。这种方法不能证明其结果不为。但是，在1-n区间我们可以采用最原始的方法，一个一个的去数数，数出的结果是，就是没有。当然我们知道孪生素数在1-n区间，比如1-1亿之间，我们是可以数出来的。而1亿-2亿之间就不用数了。
素数、孪生素数、四胞胎素数等数量问题的本质就是等差数列问题
第一种方法等差数列相减法证明结束。欢迎大家多多批评、指教、指正，共同探讨。
第二种方法：等差数列相加法
3、13、23、33、43、53、63、73、83、93、13、这是一个所有个位为3的自然数序列，同时它也是一个公差为1的等差数列。显然这里有素数也有合数，那是否可以通过计算得到素数、合数吗？
素数是不可以的，至少目前不可以。而合数是可以通过计算得到的。在这里素数、合数也是互补的。这也是为什么只研究个位为1、3的孪生素数的根本原因。
当两个自然数相乘的结果个位为3时，这两个自然数的个位有且仅有两种组合1、3或7、9。如自然数(1k+1)乘以自然数(1i+3)，可以将其转化为如下形式：1[(1i+3)k+i]+3。此式可以去掉个位并形成简化形式(1i+3)k+i。这种计算结果不包含自然数个位的公式，本文称之为“无个位合数公式”。
同法可得个位为1、3、7、9全部无个位合数公式，结果如下:
个位为1：(1i+1)k+i、(1i+3)k+7i+2、(1i+9)k+9i+8
个位为3：(1i+3)k+i、(1i+7)k+9i+6
个位为7：(1i+7)k+i、(1i+3)k+9i+2
个位为9：(1i+9)k+i、(1i+3)k+3i、(1i+7)k+7i+4
下面是运用个位为1和个位为3的无个位合数公式计算结果形成的若干等差数列（计算结果不含个位：
个位为1的公式(1i+1)k+i，计算结果是：12、23、34、45(i=1，k>=1)
个位为1的公式(1i+3)k+7i+2，计算结果是：2、5、8、11(i=，k>=)
个位为1的公式(1i+9)k+9i+8，计算结果是：8、17、26、35(i=，k>=)
个位为3的公式(1i+3)k+i，计算结果是：3、6、9、12(i=1，k>=1)
个位为3的公式(1i+7)k+9i+6，计算结果是：6、13、2、27(i=，k>=)
可以看到21-23为什么不是孪生素数，因为21去掉个位1后，剩余的数字“2”正好是第2行公式的第一个解，故21一定是合数，所以无论23是否为素数，21-23都不可能是孪生素数了。同样31-33也不是孪生素数，因为数字“33”去掉个位3后，剩余的数字“3”正好是第4行公式的第一个解，故33也一定是合数，所以无论31是否为素数，31-33也都不可能是孪生素数了。
可以说在所有的上述公式计算出的解后面分别添加个位1、3后形成的2个数字一定不是孪生素数。而不是上述公式计算出的解（实际就是b集合的补集的后面分别添加个位1、3后形成的2个数字一定是孪生素数。
实际上这就是个位为1、3的孪生素数筛法，其原理就是通过公式计算出个位为1、3的一对数字中那个数字是合数。一旦有一个数字是合数则这一对数字绝不可能是孪生素数了。而公式恰好能计算出所有这样的合数。而没有计算出的数字如1、4、7、1等分别添上个位1、3后就是孪生素数11-13、41-43、71-73、11-13。计算出的数字就是本文开头所述的b集合中的数字，而不能被这些公式计算出的数字，就是a集合中的数字。a、b集合是互补的。
b集合中的数字实质上就是这些公式的不同解。公式的解是由很多等差数列组成的，这其中有很多相同的元素，如前面举例中的5行计算结果中就有2个6、2个12、2个8等。而通过容斥原理是可以计算出若干等差数列中的不同元素数量的。
将所有的公式计算出的解形成的等差数列逐行排列，当然这些等差数列非常的多，重复的元素也是非常的多，不过这都无所谓。用容斥原理统计这些等差数列在n以内的不同元素数量，之后再统计这些等差数列在n-2n区间形成的不同元素数量。你会发现相同的等差数列、相同的长度范围其统计结果会是十分相近的。
这一点每一个人都可以用2、3、5的倍数形成的等差数列演示一下，统计这3个等差数列在每1或1个长度范围内的不同元素数量，就会发现这种规律。
2的倍数、3的倍数、5的倍数组成的3个等差数列，任意截取1个长度时，三个等差数列包含所有的元素中有些是相同的，有些是不同的。而不同的元素的数量可能是72个、73个、74个，不是一个确定的、唯一的数。但绝对不会是8多个，也不会是3多个。
这种情况说明孪生素数也是近似均匀的分布在数轴上的。当n值很大时1-n与n-2n这两个范围内的孪生素数数量，是近似相等的。而n很大时，其左右两个相对较小区间内的孪生素数数量也是近似相等的（比值非常接近1。如下图所示：
用几十、几百、几千范围统计出的孪生素数越来越稀疏的观念如何解释在一万亿如此之大的范围内竟然存在后面区间孪生素数数量要大于前面孪生素数数量的数量，且不是偶然一、两次现象。孪生素数如此均衡的分布，而且是由等差数列决定的，想象一下，下一个一万亿一个孪生素数也没有是什么情况。
将连续的自然数截成若干较长且等长的段，再用一些等差数列去掉所有段上与该等差数列相同的元素，每个段剩余部分数量是否大致相同呢？
若果不同，那它各个段的剩余元素数量又会怎样分布呢?
将连续的自然数截成若干等长且较长的段，再用一些等差数列数列去掉所有段上与该等差数列相同的元素，每个段剩余部分数量是否大致相同呢？
如果不是大致相同，那它各个段的剩余元素数量又会怎样分布呢?
可能出现一个剩余段中所剩无几，而另一个剩余段且是没有被去除几个元素吗
在一个均匀排列的数列上，均匀的去掉一些元素，剩余部分是否是均匀的呢？
如果剩余部分仍是均匀的，则孪生素数就是无限的。
比如有一排均匀种植的树木，每一米种植一棵，当然这排树数量很多。若我们每1米砍掉一棵树后，剩余的树木排列还是均匀的吗？
可能有人认为不是均匀的了，因为每1米就少了一棵树。也就是说用米尺去量时，它们的确不再均匀了。但是若统计每1米内的树木数量，都是9棵，是否也可以认为此时树木仍是均匀的呢？其实在开始时的每一米种植一棵数大家都认为是均匀的，但以一尺为单位统计时，显然，有时在一尺范围内是有一颗树的，有时一尺范围内是没有树的。这是否也可以认为树木是不均匀的呢？
这与孪生素数有关吗？
有关。
1、2、3、4、5、6、7、8、9、1n，这是自然数序列，也可以认为是一排树，一排均匀种植的树。我们按照一定条件在这个自然数序列上均匀的去掉一些元素。而若剩余的恰好是孪生素数。这时我们是否可以认为孪生素数也是均匀排列的呢？
比一个素数大2的数字如果仍然是素数，则称这两个数字是孪生素数。若用这种方法判断两个数字是否为孪生素数是非常繁琐的，而且不利于证明。
是否有新的方法呢？
1、2、3、4、5、6、7、8、9、1n，这是自然数序列，我们可以将这些数字按照一定规则分成2类。比如将1、4、7、1等划分为a集合，而将2、3、5、6、8、9划分为b集合。两者的区别是a集合中的元素在其后面分别添加1、3后形成的两个数字全部是孪生素数。而b集合中的数字在其后面分别添加1、3后形成的两个数字全部不是孪生素数。当然a集合中的元素目前尚无公式可以求出。但b集合中的元素是可以用公式求出的。公式计算的结果可以形成很多个等差数列，这些等差数列中的元素均匀的去掉自然数集合中的一些元素后，剩余的数字就是a集合中的元素。那a集合中的元素是均匀分布的吗？
本文所述仅研究个位为1、3的这一部分孪生素数。而不考虑个位为7、9以及个位为9、1的两类孪生素数。
当统计很小的范围时，就是我们所熟悉的素数越来越稀疏，孪生素数越来越稀疏，四胞胎素数越来越稀疏。但当我们统计范围扩大时，就会看到素数、孪生素数、四胞胎素数实际上近似均匀的分布在自然数中的。也就说自然数统计范围扩大到原来的2倍时，则其范围内所含的素数、孪生素数、四胞胎素数的数量也会趋近扩大到原来的2倍。
当统计范围达到28万亿时，素数增长比例为196，孪生素数增长比例为192，四胞胎素数增长比例为184。也就是说自然数范围由14万亿扩大到28万亿时，统计范围是原来的2倍，而素数数量是原来的196倍，孪生素数数量是原来的192倍，四胞胎素数数量是原来的184倍。
根据素数定理可以计算出当统计范围增加到2e+37时，素数数量增长的这一比例是1998。同样根据素数定理可以计算当统计范围趋向无穷时，素数数量增长的这一比例就是2。
而孪生素数、四胞胎素数是没有这样的定理可使用的，但现有统计结果也是逐渐趋向2这一数字的。这种均匀性表明孪生素数，甚至四胞胎素数都是无限的。
看看下面这张统计表可以清楚的展现这一变化规律（此图较长，中间省略了一部分。
图中最左侧自然数栏中的数字去掉个位9后，下面一行的数字都是上面一行数字的2倍。
如何通过计算得到b集合中的元素呢？b集合中的元素如实如何分布的呢？
有5组公式可以计算出b集合中的所有元素，每组又由很多个公式组成，具体如下：
个位为1：(1i+1)k+i、(1i+3)k+7i+2、(1i+9)k+9i+8
个位为3：(1i+3)k+i、(1i+7)k+9i+6
每个公式的计算结果可以构成一列等差数列，实际上b集合中的全部元素就是这些等差数列中不同元素构成的。而不在b集合中元素就是a集合中的元素。b集合中的元素后面分别添加1、3后形成两个数字一定不是孪生素数，a集合中的元素后面分别添加1、3后形成两个数字一定是孪生素数。
比如公式(1i+3)k+i
当i=时，其结果是：3、6、9、12、15、18、21、24、27、3
当i=1时，其结果是：14、27、4、53、66、79、92、15、118、121
可以看到其结果就是若干个等差数列。而这些数字在其后添加1、3后形成的2个数字一定不是孪生素数，如3、6、9、12、15添加1、3后变成了31-33、61-63、91-93、121-123、151-153等，而14、27、4、53添加1、3后变成了141-143、271-273、41-43、531-533也一定不是孪生素数。
在自然数集合1、2、3、4、5、6、7、8、9、1n中逐渐去掉等差数列3、6、9、12、15以及等差数列14、27、4、53等等这样的等差数列后，剩余部分还是均匀的吗？
总之统计结果在较大范围内是均匀的。
(1i+3)k+i与(1i+7)k+9i+6这两组公式计算结果是所有个位为3的合数，凡是这两组公式计算出的结果再添加个位3后一定是合数，而不在计算结果中的数字添加个位3后一点是素数。5组公式合用，自然就会去掉所有个位为1和个位为3的合数。实际上这就是个位为1的素数筛法，个位为3的素数筛法。合用就是个位为1、3的孪生素数筛法。因为合用可以去掉所有个位为1、3的合数部分，剩余部分的自然数，在其后面添加1是素数、添加3也是素数，如数字“4“是剩余数字，再该数字的后面添加1后41是一个个位为1的素数，同时该数字的后面添加3后是、43是一个个位为3的素数。显然41-43是一对孪生素数。
显然这些公式不但去掉了21、33这样合数，也去掉了23、31这样的素数。剩余的就是形如1、4、7、1这样的数字。这些数字就是前文所述的a集合中的数字。在其后面分别添加1、3数字后就会变成一对孪生素数。1、4、7、1添加1、3后形成了孪生素数11-13、41-43、71-73、11-13。
回到本文开头所述，在自然数集合1、2、3、4、5、6、7、8、9、1n中逐渐去掉个位为1、3的5组公式的解形成的等差数列后，剩余部分也就是a集合中可以形成孪生素数的那些元素，大家说说此时剩余的这些数字，也就是说可以形成孪生素数的数字是均匀的吗？如果是，孪生素数则无限。如果不是，唉！如果一个均匀的数列被另一个均匀的等差数列去掉了相同的元素，而剩余的不是均匀的，会是什么情况呢？间隔1米的一排树，每1米砍掉一棵树，结果是前1米剩了9棵树，后1米剩了5棵树，是什么情况？怎么砍能均匀的砍成不均匀的呢?
实际上这种方法不能直接的证明孪生素数猜想，因为很有可能剩余数是。这时前后仍是均匀的。每个区间都是。这种方法不能证明其结果不为。但是，在1-n区间我们可以采用最原始的方法，一个一个的去数数，数出的结果是，就是没有。当然我们知道孪生素数在1-n区间，比如1-1亿之间，我们是可以数出来的。而1亿-2亿之间就不用数了。
素数、孪生素数、四胞胎素数等数量问题的本质就是等差数列问题
第一种方法等差数列相减法证明结束。欢迎大家多多批评、指教、指正，共同探讨。
第二种方法：等差数列相加法
3、13、23、33、43、53、63、73、83、93、13、这是一个所有个位为3的自然数序列，同时它也是一个公差为1的等差数列。显然这里有素数也有合数，那是否可以通过计算得到素数、合数吗？
素数是不可以的，至少目前不可以。而合数是可以通过计算得到的。在这里素数、合数也是互补的。这也是为什么只研究个位为1、3的孪生素数的根本原因。
当两个自然数相乘的结果个位为3时，这两个自然数的个位有且仅有两种组合1、3或7、9。如自然数(1k+1)乘以自然数(1i+3)，可以将其转化为如下形式：1[(1i+3)k+i]+3。此式可以去掉个位并形成简化形式(1i+3)k+i。这种计算结果不包含自然数个位的公式，本文称之为“无个位合数公式”。
同法可得个位为1、3、7、9全部无个位合数公式，结果如下:
个位为1：(1i+1)k+i、(1i+3)k+7i+2、(1i+9)k+9i+8
个位为3：(1i+3)k+i、(1i+7)k+9i+6
个位为7：(1i+7)k+i、(1i+3)k+9i+2
个位为9：(1i+9)k+i、(1i+3)k+3i、(1i+7)k+7i+4
下面是运用个位为1和个位为3的无个位合数公式计算结果形成的若干等差数列（计算结果不含个位：
个位为1的公式(1i+1)k+i，计算结果是：12、23、34、45(i=1，k>=1)
个位为1的公式(1i+3)k+7i+2，计算结果是：2、5、8、11(i=，k>=)
个位为1的公式(1i+9)k+9i+8，计算结果是：8、17、26、35(i=，k>=)
个位为3的公式(1i+3)k+i，计算结果是：3、6、9、12(i=1，k>=1)
个位为3的公式(1i+7)k+9i+6，计算结果是：6、13、2、27(i=，k>=)
可以看到21-23为什么不是孪生素数，因为21去掉个位1后，剩余的数字“2”正好是第2行公式的第一个解，故21一定是合数，所以无论23是否为素数，21-23都不可能是孪生素数了。同样31-33也不是孪生素数，因为数字“33”去掉个位3后，剩余的数字“3”正好是第4行公式的第一个解，故33也一定是合数，所以无论31是否为素数，31-33也都不可能是孪生素数了。
可以说在所有的上述公式计算出的解后面分别添加个位1、3后形成的2个数字一定不是孪生素数。而不是上述公式计算出的解（实际就是b集合的补集的后面分别添加个位1、3后形成的2个数字一定是孪生素数。
实际上这就是个位为1、3的孪生素数筛法，其原理就是通过公式计算出个位为1、3的一对数字中那个数字是合数。一旦有一个数字是合数则这一对数字绝不可能是孪生素数了。而公式恰好能计算出所有这样的合数。而没有计算出的数字如1、4、7、1等分别添上个位1、3后就是孪生素数11-13、41-43、71-73、11-13。计算出的数字就是本文开头所述的b集合中的数字，而不能被这些公式计算出的数字，就是a集合中的数字。a、b集合是互补的。
b集合中的数字实质上就是这些公式的不同解。公式的解是由很多等差数列组成的，这其中有很多相同的元素，如前面举例中的5行计算结果中就有2个6、2个12、2个8等。而通过容斥原理是可以计算出若干等差数列中的不同元素数量的。
将所有的公式计算出的解形成的等差数列逐行排列，当然这些等差数列非常的多，重复的元素也是非常的多，不过这都无所谓。用容斥原理统计这些等差数列在n以内的不同元素数量，之后再统计这些等差数列在n-2n区间形成的不同元素数量。你会发现相同的等差数列、相同的长度范围其统计结果会是十分相近的。
这一点每一个人都可以用2、3、5的倍数形成的等差数列演示一下，统计这3个等差数列在每1或1个长度范围内的不同元素数量，就会发现这种规律。
2的倍数、3的倍数、5的倍数组成的3个等差数列，任意截取1个长度时，三个等差数列包含所有的元素中有些是相同的，有些是不同的。而不同的元素的数量可能是72个、73个、74个，不是一个确定的、唯一的数。但绝对不会是8多个，也不会是3多个。
这种情况说明孪生素数也是近似均匀的分布在数轴上的。当n值很大时1-n与n-2n这两个范围内的孪生素数数量，是近似相等的。而n很大时，其左右两个相对较小区间内的孪生素数数量也是近似相等的（比值非常接近1。如下图所示：
用几十、几百、几千范围统计出的孪生素数越来越稀疏的观念如何解释在一万亿如此之大的范围内竟然存在后面区间孪生素数数量要大于前面孪生素数数量的数量，且不是偶然一、两次现象。孪生素数如此均衡的分布，而且是由等差数列决定的，想象一下，下一个一万亿一个孪生素数也没有是什么情况。
将连续的自然数截成若干较长且等长的段，再用一些等差数列去掉所有段上与该等差数列相同的元素，每个段剩余部分数量是否大致相同呢？
若果不同，那它各个段的剩余元素数量又会怎样分布呢?
将连续的自然数截成若干等长且较长的段，再用一些等差数列数列去掉所有段上与该等差数列相同的元素，每个段剩余部分数量是否大致相同呢？
如果不是大致相同，那它各个段的剩余元素数量又会怎样分布呢?
可能出现一个剩余段中所剩无几，而另一个剩余段且是没有被去除几个元素吗
在一个均匀排列的数列上，均匀的去掉一些元素，剩余部分是否是均匀的呢？
如果剩余部分仍是均匀的，则孪生素数就是无限的。
比如有一排均匀种植的树木，每一米种植一棵，当然这排树数量很多。若我们每1米砍掉一棵树后，剩余的树木排列还是均匀的吗？
可能有人认为不是均匀的了，因为每1米就少了一棵树。也就是说用米尺去量时，它们的确不再均匀了。但是若统计每1米内的树木数量，都是9棵，是否也可以认为此时树木仍是均匀的呢？其实在开始时的每一米种植一棵数大家都认为是均匀的，但以一尺为单位统计时，显然，有时在一尺范围内是有一颗树的，有时一尺范围内是没有树的。这是否也可以认为树木是不均匀的呢？
这与孪生素数有关吗？
有关。
1、2、3、4、5、6、7、8、9、1n，这是自然数序列，也可以认为是一排树，一排均匀种植的树。我们按照一定条件在这个自然数序列上均匀的去掉一些元素。而若剩余的恰好是孪生素数。这时我们是否可以认为孪生素数也是均匀排列的呢？
比一个素数大2的数字如果仍然是素数，则称这两个数字是孪生素数。若用这种方法判断两个数字是否为孪生素数是非常繁琐的，而且不利于证明。
是否有新的方法呢？
1、2、3、4、5、6、7、8、9、1n，这是自然数序列，我们可以将这些数字按照一定规则分成2类。比如将1、4、7、1等划分为a集合，而将2、3、5、6、8、9划分为b集合。两者的区别是a集合中的元素在其后面分别添加1、3后形成的两个数字全部是孪生素数。而b集合中的数字在其后面分别添加1、3后形成的两个数字全部不是孪生素数。当然a集合中的元素目前尚无公式可以求出。但b集合中的元素是可以用公式求出的。公式计算的结果可以形成很多个等差数列，这些等差数列中的元素均匀的去掉自然数集合中的一些元素后，剩余的数字就是a集合中的元素。那a集合中的元素是均匀分布的吗？
本文所述仅研究个位为1、3的这一部分孪生素数。而不考虑个位为7、9以及个位为9、1的两类孪生素数。
当统计很小的范围时，就是我们所熟悉的素数越来越稀疏，孪生素数越来越稀疏，四胞胎素数越来越稀疏。但当我们统计范围扩大时，就会看到素数、孪生素数、四胞胎素数实际上近似均匀的分布在自然数中的。也就说自然数统计范围扩大到原来的2倍时，则其范围内所含的素数、孪生素数、四胞胎素数的数量也会趋近扩大到原来的2倍。
当统计范围达到28万亿时，素数增长比例为196，孪生素数增长比例为192，四胞胎素数增长比例为184。也就是说自然数范围由14万亿扩大到28万亿时，统计范围是原来的2倍，而素数数量是原来的196倍，孪生素数数量是原来的192倍，四胞胎素数数量是原来的184倍。
根据素数定理可以计算出当统计范围增加到2e+37时，素数数量增长的这一比例是1998。同样根据素数定理可以计算当统计范围趋向无穷时，素数数量增长的这一比例就是2。
而孪生素数、四胞胎素数是没有这样的定理可使用的，但现有统计结果也是逐渐趋向2这一数字的。这种均匀性表明孪生素数，甚至四胞胎素数都是无限的。
看看下面这张统计表可以清楚的展现这一变化规律（此图较长，中间省略了一部分。
图中最左侧自然数栏中的数字去掉个位9后，下面一行的数字都是上面一行数字的2倍。
如何通过计算得到b集合中的元素呢？b集合中的元素如实如何分布的呢？
有5组公式可以计算出b集合中的所有元素，每组又由很多个公式组成，具体如下：
个位为1：(1i+1)k+i、(1i+3)k+7i+2、(1i+9)k+9i+8
个位为3：(1i+3)k+i、(1i+7)k+9i+6
每个公式的计算结果可以构成一列等差数列，实际上b集合中的全部元素就是这些等差数列中不同元素构成的。而不在b集合中元素就是a集合中的元素。b集合中的元素后面分别添加1、3后形成两个数字一定不是孪生素数，a集合中的元素后面分别添加1、3后形成两个数字一定是孪生素数。
比如公式(1i+3)k+i
当i=时，其结果是：3、6、9、12、15、18、21、24、27、3
当i=1时，其结果是：14、27、4、53、66、79、92、15、118、121
可以看到其结果就是若干个等差数列。而这些数字在其后添加1、3后形成的2个数字一定不是孪生素数，如3、6、9、12、15添加1、3后变成了31-33、61-63、91-93、121-123、151-153等，而14、27、4、53添加1、3后变成了141-143、271-273、41-43、531-533也一定不是孪生素数。
在自然数集合1、2、3、4、5、6、7、8、9、1n中逐渐去掉等差数列3、6、9、12、15以及等差数列14、27、4、53等等这样的等差数列后，剩余部分还是均匀的吗？
总之统计结果在较大范围内是均匀的。
(1i+3)k+i与(1i+7)k+9i+6这两组公式计算结果是所有个位为3的合数，凡是这两组公式计算出的结果再添加个位3后一定是合数，而不在计算结果中的数字添加个位3后一点是素数。5组公式合用，自然就会去掉所有个位为1和个位为3的合数。实际上这就是个位为1的素数筛法，个位为3的素数筛法。合用就是个位为1、3的孪生素数筛法。因为合用可以去掉所有个位为1、3的合数部分，剩余部分的自然数，在其后面添加1是素数、添加3也是素数，如数字“4“是剩余数字，再该数字的后面添加1后41是一个个位为1的素数，同时该数字的后面添加3后是、43是一个个位为3的素数。显然41-43是一对孪生素数。
显然这些公式不但去掉了21、33这样合数，也去掉了23、31这样的素数。剩余的就是形如1、4、7、1这样的数字。这些数字就是前文所述的a集合中的数字。在其后面分别添加1、3数字后就会变成一对孪生素数。1、4、7、1添加1、3后形成了孪生素数11-13、41-43、71-73、11-13。
回到本文开头所述，在自然数集合1、2、3、4、5、6、7、8、9、1n中逐渐去掉个位为1、3的5组公式的解形成的等差数列后，剩余部分也就是a集合中可以形成孪生素数的那些元素，大家说说此时剩余的这些数字，也就是说可以形成孪生素数的数字是均匀的吗？如果是，孪生素数则无限。如果不是，唉！如果一个均匀的数列被另一个均匀的等差数列去掉了相同的元素，而剩余的不是均匀的，会是什么情况呢？间隔1米的一排树，每1米砍掉一棵树，结果是前1米剩了9棵树，后1米剩了5棵树，是什么情况？怎么砍能均匀的砍成不均匀的呢?
实际上这种方法不能直接的证明孪生素数猜想，因为很有可能剩余数是。这时前后仍是均匀的。每个区间都是。这种方法不能证明其结果不为。但是，在1-n区间我们可以采用最原始的方法，一个一个的去数数，数出的结果是，就是没有。当然我们知道孪生素数在1-n区间，比如1-1亿之间，我们是可以数出来的。而1亿-2亿之间就不用数了。
素数、孪生素数、四胞胎素数等数量问题的本质就是等差数列问题
第一种方法等差数列相减法证明结束。欢迎大家多多批评、指教、指正，共同探讨。
第二种方法：等差数列相加法
3、13、23、33、43、53、63、73、83、93、13、这是一个所有个位为3的自然数序列，同时它也是一个公差为1的等差数列。显然这里有素数也有合数，那是否可以通过计算得到素数、合数吗？
素数是不可以的，至少目前不可以。而合数是可以通过计算得到的。在这里素数、合数也是互补的。这也是为什么只研究个位为1、3的孪生素数的根本原因。
当两个自然数相乘的结果个位为3时，这两个自然数的个位有且仅有两种组合1、3或7、9。如自然数(1k+1)乘以自然数(1i+3)，可以将其转化为如下形式：1[(1i+3)k+i]+3。此式可以去掉个位并形成简化形式(1i+3)k+i。这种计算结果不包含自然数个位的公式，本文称之为“无个位合数公式”。
同法可得个位为1、3、7、9全部无个位合数公式，结果如下:
个位为1：(1i+1)k+i、(1i+3)k+7i+2、(1i+9)k+9i+8